Mecánica Clásica

5.5. ECUACIONES DE EULER PARA CUERPOS RÍGIDOS. 211
obtenemos una ecuación diferencial que depende solamente de Ω 2 ,
˙Ω 2 = dΩ 2
dt
=
1 [
(2EI33 − l 2 ) − I
I 22 [I 11 I 33 ] 1/2 22 (I 33 − I 22 )Ω 2 ] 1/2
2
× [ (l 2 − 2EI 11 ) − I 22 (I 22 − I 11 )Ω 2 2] 1/2
. (5.184)
De la Ec. (5.184), podemos calcular t = t(Ω 2 ) mediante integración explícita en
términos de funciones elípticas y, por inversión, obtenemos Ω 2 (t). Sustitución de
Ω 2 (t) en Ec. (6.321) y en la Ec. (5.182) permite obtener Ω 1 (t) y Ω 3 (t), respectivamente.
La dependencia temporal de los ángulos de Euler (θ, φ, ψ) para el cuerpo rígido
asímetrico puede obtenerse sustituyendo las soluciones Ω i (t) en las Ecs. (5.22); sin
embargo, el procedimiento es laborioso.
Este ejemplo ilustra las dificultades matemáticas generadas por la presencia de no
linealidades en sistemas dinámicos, aunque éstos sean integrables.
Puesto que el movimiento del vector l relativo al sistema (x 1 , x 2 , x 3 ) es periódico,
podemos simplificar las ecuaciones Ecs. (5.178) considerando el movimiento de pequeñas
oscilaciones de l alrededor de los ejes x 1 , x 2 y x 3 .
i) Pequeñas oscilaciones de l alrededor de x 1 .
Supongamos que las componentes l 2 y l 3 son pequeñas. Entonces, las relaciones
l 2 = I 22 Ω 2 , l 3 = I 33 Ω 3 , (5.185)
implican que también las componentes Ω 2 y Ω 3 son pequeñas. Luego, el producto
Ω 2 Ω 3 es muy pequeño y puede ser despreciado en la ecuación de Euler para ˙Ω 1 en
las Ecs. (5.178), lo cual da
˙Ω 1 ≈ 0 ⇒ Ω 1 ≈ cte. (5.186)
Entonces, la segunda y la tercera de las ecuaciones de Euler Ecs. (5.178) dan
˙Ω 2 = (I 33 − I 11 )
I 22
Ω 1 Ω 3 (5.187)
˙Ω 3 = − (I 22 − I 11 )
I 33
Ω 1 Ω 2 . (5.188)
Derivando respecto al tiempo la Ec. (5.187) o la Ec. (5.188), y sustituyendo el
resultado en la otra ecuación, tenemos
¨Ω 2,3 = − (I 33 − I 11 )(I 22 − I 11 )
I 22 I 33
Ω 2 1 Ω 2,3 , (5.189)
la cual se puede escribir como la ecuación de un oscilador armónico,
¨Ω 2,3 = −ω 2 x 1
Ω 2,3 , (5.190)