Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
sustituyendo q de la Ec. (6.259), tenemos
p(Q, E, t) = √ 2mE cos(ωt + β ′ ). (6.261)
Las constantes Q = β y P = E se pueden expresar en términos de las condiciones
iniciales q(0) = q 0 y p(0) = p 0 . Evaluando las Ecs. (6.259) y (6.261) en t = 0,
tenemos
√
2E
q 0 = sin(ωQ), (6.262)
mω2 Luego,
p 0 = √ 2mE cos(ωQ). (6.263)
tan(ωQ) = mω q 0
p 0
⇒ Q = 1 ω tan−1 (
mω q 0
p 0
)
. (6.264)
Evaluando la Ec. (6.260) en t = 0,
E = 1 (
p
2
2m 0 + m 2 ω 2 q0
2 )
= P. (6.265)
Las Ecs. (6.259) y (6.261), junto con las relaciones (6.264) y (6.265), expresan la
solución de las ecuaciones de Hamilton para el oscilador armónico en términos de
las condiciones iniciales, p = p(q 0 , p 0 , t) y q = q(q 0 , p 0 , t).
Aunque la solución explícita para la acción S no es necesaria para la obtención de
la trayectoria p(q 0 , p 0 , t) y q(q 0 , p 0 , t), la cantidad S puede encontrarse a partir de
la integración de la Ec. (6.254),
S(q, E, t) = √ ∫ √ 1 − mω 2 q 2
2Em
dq − Et
2E
= √ ∫ √
2Em 1 − q2
[
√
2Em
= 1 2
q
dq − Et
a2 (1 − q2
a 2 ) 1/2
+ a sin −1 ( q
a
) ] − Et, (6.266)
√
2E
donde a ≡
mω 2 . Sustituyendo q de la Ec. (6.259) en la Ec. (6.266), podemos
obtener S como función de t,
S(t) = 1 2 a√ 2Em [ sin(ωt + β ′ ) cos(ωt + β ′ ) + sin −1 (sin(ωt + β ′ )) ] − Et
= E [ 1
ω 2 sin 2(ωt + β′ ) + (ωt + β )]
′ − Et
= E 2ω sin 2(ωt + β′ ), (6.267)
donde las constantes han sido suprimidas en la Ec. (6.267).