Mecánica Clásica

208
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
5.5. Ecuaciones de Euler para cuerpos rígidos.
En el ejemplo de un trompo simétrico con su punto inferior fijo, vimos como las
ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido se pueden derivar a partir del Lagrangiano
del sistema expresado en términos de ángulos de Euler.
Alternativamente, es posible derivar las ecuaciones de movimiento a partir de las
relaciones de tranformación de cantidades vectoriales, desde el sistema de coordenadas
del laboratorio (x, y, z) al sistema (x 1 , x 2 , x 3 ) con origen en el centro de masa y que se
mueve con el cuerpo. Para hacer esto, consideremos que los orígenes de ambos sistemas
de coordenadas coinciden y observemos un vector A en ambos sistemas. El sistema
(x 1 , x 2 , x 3 ) puede rotar con una velocidad angular intantánea Ω. Un cambio infinitesimal
en el vector A observado en ambos sistemas de coordenadas solamente puede diferir
debido al efecto causado por la rotación de los ejes (x 1 , x 2 , x 3 ), es decir,
dA (x,y,z) = dA (x1,x 2,x 3) + dA rot . (5.166)
El cambio dA rot causado por la rotación de (x 1 , x 2 , x 3 ) no modifica la magnitud del
vector A, sino su dirección, al igual que un vector posición r de una partícula del cuerpo
rígido mantiene su magnitud en el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo. En ese caso,
vimos que un cambio dr es el resultado de una rotación infinitesimal dΦ alrededor de
un eje instantáneo que pasa por el origen del sistema (x 1 , x 2 , x 3 ), y está dado por la
Ec. (5.5), dr = dΦ × r. Luego,
dA rot = dΦ × A, (5.167)
donde dΦ = Ω dt. La variaciones temporales del vector A, vistas por dos observadores
en los sistemas de coordenadas (x, y, z) y (x 1 , x 2 , x 3 ), están relacionadas por
( ) ( )
dA
dA
=
+ Ω × A. (5.168)
dt
dt
(x,y,z)
(x 1,x 2,x 3)
Esta relación es general para cualquier vector A.
En particular, si A = l,
( ) ( )
dl
dl
=
dt
(x,y,z)
dt
( ) dl
Pero el torque en el sistema (x, y, z) es τ =
dt
τ =
(x 1,x 2,x 3)
+ Ω × l. (5.169)
. Luego, podemos escribir
(x,y,z)
( ) dl
+ Ω × l. (5.170)
dt
(x 1,x 2,x 3)
La Ec. (5.170) constituye el conjunto de ecuaciones de Euler para cuerpos rígidos.
Las componentes de l en el sistema (x 1 , x 2 , x 3 ) están dadas por l i = ∑ k I ikΩ k . Luego,
la componente i de la Ec. (5.170) es
τ i = ∑ k
I ik ˙Ωk + (Ω × l) i (5.171)