Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
3.4. Problema de Kepler.
El problema de Kepler se refiere al movimiento en un campo central correspondiente
a la fuerza gravitacional
f(r) = − k r 2 ⇒ V (r) = − k r . (3.92)
donde k = Gm 1 m 2 , y G = 6,674 × 10 −11 N(m/Kg) 2 es la constante universal gravitacional.
La forma de la fuerza gravitacional fue descubierta por Isaac Newton y la constante
G fue determinada experimentalmente por Henry Cavendish (1731-1810).
Figura 3.11: Monumento a Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630) en Praga.
La órbita r(θ) correspondiente a este potencial puede ser determinada a partir de la
ecuación diferencial de la órbita, Ec. (3.86),
l 2 ( d 2 )
u
µ dθ 2 + u = − ∂V
∂u . (3.93)
Para el potencial gravitacional, V = −ku, obtenemos
d 2 u
dθ 2 + u = k µ l 2 , (3.94)
que es una ecuación diferencial ordinaria inhomogénea de segundo orden. Su solución es
u(θ) = u h + u p , (3.95)
donde u p es una solución particular y u h es la solución de la ecuación homogénea
u ′′ h + u h = 0. (3.96)