Mecánica Clásica

5.2.
ENERGÍA CINÉTICA Y TENSOR DE INERCIA. 185
5.2. Energía cinética y tensor de inercia.
La energía potencial de interacción entre las partículas de un cuerpo rígido es constante;
toda la energía potencial del cuerpo equivale a la energía potencial de su centro
de masa.
Por otro lado, la energía cinética de un cuerpo rígido cuya velocidad angular instantánea
es Ω, está dada por
T = 1 2
cuerpo
∑
j
m j v 2 j , j = 1, 2, . . . (5.25)
donde la sumatoria sobre j se extiende a todas las partículas del cuerpo, m j es la masa
de la partícula j del cuerpo y v j es su velocidad, dada por la Ec. (5.8),
v j = V cm + Ω × r j , (5.26)
donde r j = (x 1 (j), x 2 (j), x 3 (j)). La velocidad angular Ω es la misma para todas las
partículas del cuerpo. Luego,
T = 1 ∑
m j (V cm + Ω × r j ) 2
2
= 1 2
j
∑
j
m j V 2
cm + ∑ j
m j V cm · (Ω × r j ) + 1 ∑
m j (Ω × r j ) 2 . (5.27)
2
j
El primer término en la Ec. (5.27) es
⎛
1 ∑
m j Vcm 2 = 1 ⎝ ∑
2
2
j
j
m j
⎞
⎠ V 2
cm = 1 2 M V 2
cm. (5.28)
donde M = ∑ j m j es la masa total del cuerpo.
El segundo término en la Ec. (5.27) se puede evaluar usando la identidad vectorial
a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b), la cual conduce a
⎛ ⎞
∑
m j V cm · (Ω × r j ) = ∑ m j r j · (V cm × Ω) = (V cm × Ω) · ⎝ ∑ m j r j
⎠ = 0 , (5.29)
j
j
✚ ✚✚✚✚✚❃0
j
puesto que en el sistema de coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ) con origen en el centro de masa
∑
j
R cm =
m jr j
= 0. (5.30)
M
El tercer término en la Ec. (5.27) se puede evaluar usando la identidad vectorial
(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c), la cual da
(Ω × r j ) 2 = (Ω × r j ) · (Ω × r j ) = Ω 2 r 2 j − (Ω · r j ) 2 (5.31)