Mecánica Clásica

3.2. POTENCIAL EFECTIVO. 111
a) E = E 1 > V ef (max) ; movimiento existe ∀ r.
b) E = E 2 < V ef (max) ; hay dos puntos de retorno r 1 y r 2 que satisfacen E = V ef .
El movimiento ocurre para r ∈ [0, r 1 ] y para r ≥ r 2 . En Mecánica Clásica, el
movimiento es imposible para r ∈ [r 1 , r 2 ].
Figura 3.10: Potencial efectivo para V = − k
r 3 . Movimiento radial ocurre en las regiones r ≤ r 1
y r ≥ r 2.
4. ¿Cuál es la condición para que una partícula caiga al centro de atracción de un
potencial central; es decir, para que r min = 0.
Consideremos la Ec. (3.25),
la cual implica que
es decir,
E = 1 2 µṙ2 +
l2
+ V (r) , (3.71)
2µr2 1
2 µṙ2 = E − V (r) − l2
2µr 2 > 0 , (3.72)
Er 2 − V (r)r 2 − l2
2µ > 0 . (3.73)
Tomando el límite r → 0, obtenemos la condición
lím [V
r→0 (r)r2 ] < − l2
2µ . (3.74)
Consideremos un potencial atractivo de la forma V (r) = −k/r n . La condición
Ec. (3.74) con l ≠ 0 implica n > 2. El potencial V (r) = −k/r 3 del ejemplo anterior
(n = 3) permite caer al centro, r min = 0. Por otro lado, el potencial gravitacional
V (r) = −k/r (n = 1) no permite alcanzar r min = 0.
El caso n = 2, correspondiente a V (r) = −k/r 2 , requiere k > l2
para caer al
2µ
centro de atracción.