Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Usamos las ecuaciones de Hamilton en la Ec. (6.192),
y obtenemos,
˙q i = ∂H
∂p i
,
ṗ j = − ∂H
∂q j
, (6.193)
( ∂ 2 )
H
[Q i , P j ] (p,q) = δ ij + −
∂2 H
δt = δ ij . (6.194)
∂q j ∂p i ∂p i ∂q j
Por lo tanto, la transformación infinitesimal Ec. (6.191) es canónica. Esta transformación
puede escribirse
P j =
Q j =
p j (t 0 ) − ∂H
∂q i
(q i (t 0 ), p i (t 0 )) dt + · · ·
q j (t 0 ) + ∂H
∂p j
(q i (t 0 ), p i (t 0 )) dt + · · · ,
(6.195)
Luego, el Hamiltoniano actúa como la función generadora de la transformación
infinitesimal (q i (t 0 ), p i (t 0 )) → (Q i , P i ). Como la condición inicial puede tomarse en
cualquier punto de la trayectoria, la evolución temporal de un sistema en el espacio
de fase es una transformación canónica inducida por el Hamiltoniano del sistema.
2. Demostrar que la siguiente transformación es canónica:
P 1 = p 1 − 2p 2 , Q 1 = q 1
P 2 = −2q 1 − q 2 , Q 2 = p 2
(6.196)
Las transformaciones canónicas deben satisfacer la propiedad [Q i , P j ] (p,q) = δ ij ,
∀i, j. Calculamos, para la transformación Ec. (6.196), los siguientes paréntesis de
Poisson,
( ∂Q1 ∂P 1
− ∂Q )
1 ∂P 1
∂q i ∂p i ∂p i ∂q i
[Q 1 , P 1 ] (p,q) = ∑ i
=
[Q 2 , P 2 ] (p,q) =
[Q 2 , P 1 ] (p,q) =
[Q 1 , P 2 ] (p,q) =
( ∂Q1 ∂P 1
− ∂Q )
1 ∂P 1
+
∂q 1 ∂p 1 ∂p 1 ∂q 1
( ∂Q1 ∂P 1
− ∂Q )
1 ∂P 1
= 1.
∂q 2 ∂p 2 ∂p 2 ∂q 2
( ∂Q2 ∂P 2
− ∂Q ) (
2 ∂P 2 ∂Q2 ∂P 2
+
− ∂Q )
2 ∂P 2
= 1.
∂q 1 ∂p 1 ∂p 1 ∂q 1 ∂q 2 ∂p 2 ∂p 2 ∂q 2
( ∂Q2 ∂P 1
− ∂Q ) (
2 ∂P 1 ∂Q2 ∂P 1
+
− ∂Q )
2 ∂P 1
= 0.
∂q 1 ∂p 1 ∂p 1 ∂q 1 ∂q 2 ∂p 2 ∂p 2 ∂q 2
( ∂Q1 ∂P 2
− ∂Q ) (
1 ∂P 2 ∂Q1 ∂P 2
+
− ∂Q )
1 ∂P 2
= 0.
∂q 1 ∂p 1 ∂p 1 ∂q 1 ∂q 2 ∂p 2 ∂p 2 ∂q 2
Luego la transformación Ec. (6.196) es canónica.