Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
conjugado P j . En ese caso, la ecuación de Hamilton correspondiente a esa coordenada
o momento se hace cero, y por lo tanto existe una cantidad conservada asociada a la
variable cíclica.
La condición para que una transformación {q i , p i } → {Q i , P i } sea canónica puede
derivarse a partir de la equivalencia del Principio de Mínima Acción en ambos conjuntos
de variables del espacio de fase.
Consideremos el Principio de Mínima Acción para las variables {q i , p i },
S =
δS = 0 ⇒ δ
∫ t2
L dt
t 1
(∫ t2
t 1
)
L dt = 0, (6.110)
el cual implica que se cumplen las ecuaciones de Lagrange y, por lo tanto, las ecuaciones
de Hamilton en las variables {q i , p i }. En términos del Hamiltoniano
H(q i , p i , t) = ∑ i
p i ˙q i − L, (6.111)
tenemos
( ∫ )
t2 ∑
δS = δ p i ˙q i − H dt = 0. (6.112)
t 1 i
En las variables {Q i , P i } se debe cumplir el Principio de Mímina Acción,
( ∫ )
t2 ∑
δS ′ = δ P i ˙Q i − H ′ dt = 0, (6.113)
t 1
i
para que también se cumplan las ecuaciones de Hamilton en {Q i , P i }.
Ambas formulaciones del Principio de Mínima Acción conducen a ecuaciones equivalentes
si los integrandos en la Ec. (6.110) y la Ec. (6.113) difieren, a lo sumo, en
una derivada total con respecto al tiempo de una función arbitraria F de las variables
{Q i , P i }, {q i , p i } y t; esto es,
∑
p i ˙q i − H = ∑
i
i
P i ˙Q i − H ′ + dF
dt , (6.114)
pues, en este caso,
(∫ t2
)
δS = δS ′ dF
+ δ
t 1
dt dt = δS ′ + δ[F (t 2 ) − F (t 1 )] = δS ′ . (6.115)
Por lo tanto, las ecuaciones de Hamilton que se derivan de la condición δS = 0 en las
variables {q i , p i } tienen la misma forma que las ecuaciones de Hamilton que se deducen
de la condición δS ′ = 0 en las variables {Q i , P i }.