Mecánica Clásica

1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES. 37
Figura 1.27: Problema de la braquistocrona.
El tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es
∫ 2 ∫
ds 2
√
t 1→2 =
v = dx2 + dy 2
. (1.141)
v
1
En el sistema de referencia escogido, la fuerza gravitacional sobre la partícula es
F = mgy ŷ, y por lo tanto la energía potencial es V = −mgy, tal que V (y = 0) = 0.
Puesto que v 0 = 0, la conservación de la energía E = T + V da
1
0 = 1 2 mv2 − mgy ⇒ v = √ 2gy. (1.142)
Luego, el tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es
∫ 2
√
dx2 + dy
t 1→2 = √ 2
, (1.143)
2gy
la cual se puede expresar como
La integral t 1→2 es del tipo
t 1→2 =
I =
1
∫ y2
y 1
∫ y2
√
1 + (x ′ ) 2
dy . (1.144)
2gy
y 1
f(x, x ′ , y)dy , (1.145)
donde hemos intercambiado los roles de las variables x y y. Identificamos la funcional
√
f(x, x ′ 1 + (x
, y) =
′ ) 2
. (1.146)
2gy
La ecuación de Euler correspondiente es
d
dy
( ∂f
∂x ′ )
− ∂f
∂x = 0 . (1.147)