Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
donde identificamos a = 2µE, b = 2µk y c = −J 2 θ . Evaluamos
b
2(−a) 3/2 =
b 2 − 4ac = 2µk
b + 2ar max = −2µk
b + 2ar min = 2µk
k
2 √ , (6.384)
2µ (−E)
3/2
√
√
1 + 2EJ θ
2
µk 2 (6.385)
√
1 + 2EJ 2 θ
µk 2 , (6.386)
1 + 2EJ 2 θ
µk 2 . (6.387)
El primer término en la integración Ec. (6.383) se anula al evaluarlo en ambos
límites r min y r max . Entonces la integral Ec. (6.382) evaluada en esos límites da
∂J r
∂E = µ π
k
2 √ 2µ (−E) 3/2 π
= k 2
√ µ
2 (−E)−3/2 . (6.388)
En el problema de Kepler tenemos E < 0 para una órbita finita.
Ahora integramos la Ec. (6.388) y obtenemos
J r = C + k
√ µ
2 (−E)−1/2 , (6.389)
donde C es una constante de integración. Para determinar C, notamos que la
expresión Ec. (6.389) debe ser válida para cualquier órbita con E < 0 en el problema
de Kepler. En particular, consideremos una órbita circular con r = cte. Entonces,
r min = r max y J r = 0 para esa órbita. La energía correspondiente a una órbita
circular es
E = − µk2
2Jθ
2 . (6.390)
Entonces, la Ec. (6.389) para una órbita circular da
√ √
µ 2Jθ
2 0 = C + k
2 µk 2 ⇒ C = −J θ . (6.391)
Luego,
J r = −J θ + k
√ µ
2 (−E)−1/2 . (6.392)
El Hamiltoniano en función de las variables de acción se puede expresar como
H ′ µk 2
(J r , J θ ) = E = −
2(J r + J θ ) 2 . (6.393)