Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
se describe en términos de s ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en
el tiempo para las coordenadas generalizadas q i , (i = 1, 2, . . . , s); mientras que en la
formulación Hamiltoniana, la dinámica del sistema se expresa mediante 2s ecuaciones
diferenciales de primer orden con respecto al tiempo: s ecuaciones para las coordenadas
q i y s ecuaciones para los momentos conjugados p i . Formalmente, el Hamiltoniano corresponde
a una transformación de Legendre del Lagrangiano (Apéndice C). Desde el punto
de vista matemático, ambas formulaciones son equivalentes. Sin embargo, la formulación
Hamiltoniana permite conectar la Mecánica Clásica con otras áreas de la Física, tales
como Sistemas Dinámicos, Mecánica Estadística y Teorías de Campos.
Figura 6.2: William Rowan Hamilton (1805-1865).
Ejemplos.
1. Encontrar las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico en la formulación
Hamiltoniana.
El Lagrangiano es
puesto que s = 1, hay un momento conjugado:
El Hamiltoniano es
L = T − V = 1 2 m ˙q2 − 1 2 kq2 . (6.16)
p = ∂L
∂ ˙q = m ˙q ⇒ ˙q = p m . (6.17)
H(q, p) = p ˙q − L = p ˙q − 1 2 m ˙q2 + 1 2 kq2 . (6.18)
Sustituyendo ˙q = p m ,
H(q, p) = p2
2m + 1 2 kq2 . (6.19)