Mecánica Clásica

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APÉNDICE A. LAGRANGIANO DE UNA PARTÍCULA RELATIVISTA
Ejemplo.
1. Partícula con masa m sujeta a la fuerza F = ma, donde a es una constante.
El potencial es V = −max y el Lagrangiano relativista es
L = −mc 2√ 1 − β 2 + max,
(A.71)
donde β = ẋ/c. La ecuación de Lagrange para x da:
( )
d β
√ = a dt 1 − β
2 c . (A.72)
Integrando, tenemos
β
√ = at + α
1 − β
2 c
⇒ β =
at + α
√
c2 + (at + α) 2
(A.73)
donde α es una constante de integración. Integrando otra vez,
∫
(at + α)dt
x = c √
c2 + (at + α) 2
x − x 0 = c a
(√
c2 + (at + α) 2 − √ c 2 + a 2 )
(A.74)
(A.75)
donde hemos introducido la condición inicial x = x 0 en t = 0. Si la partícula se
encuentra en reposo ẋ(0) = 0 en el origen x 0 en t = 0, entonces α = 0 y tenemos
(x + c2
a 2 ) 2
− c 2 t 2 = c4
a 2 ,
(A.76)
lo cual corresponde a una hipérbola en el plano (x, t). Note que en el límite no
relativista, β ≪ 1, la Ec. (A.73) da la trayectoria parábolica usual en el plano
(x, t),
x ≈ 1 2 at2 + αt + x 0 .
(A.77)