Mecánica Clásica

4.3. MODOS NORMALES. 167
V = 1 2 m 2glη2. 2 (4.116)
Comparando con las formas generales cerca del equilibrio,
identificamos los coeficientes V ij ,
V = 1 ∑
V ij η i η j ,
2
i,j
(4.117)
T = 1 ∑
T ij ˙η i ˙η j ,
2
(4.118)
i,j
V 11 = 0, V 12 = 0
V 21 = 0, V 22 = m 2 gl
(4.119)
y los coeficientes T ij ,
T 11 = (m 1 + m 2 ), T 12 = m 2 l
T 21 = m 2 l, T 22 = m 2 l 2 .
(4.120)
Las frecuencias están dadas por la condición det |V ij − ω 2 T ij | = 0,
∣ −ω2 T 11 −ω 2 T 12
−ω 2 T 21 V 22 − ω 2 T 22 , ∣ = 0 (4.121)
la cual conduce a la siguiente ecuación característica cuadrática para ω 2 ,
cuyas soluciones son
(ω 2 ) 2 T 2 12 + ω 2 T 11 (V 22 − ω 2 T 22 ) = 0, (4.122)
ω 2 1 = 0, (4.123)
ω2 2 T 11 V 22 (m 1 + m 2 )m 2 gl
=
T 11 T 22 − T12
2 =
(m 1 + m 2 )m 2 l 2 − m 2 = (m 1 + m 2 ) g
2 l2 m 1 l . (4.124)
Note que si m 1 → ∞ (soporte fijo), entonces ω 2 2 = g/l, correspondiente a la frecuencia
para pequeñas oscilaciones de un péndulo simple.
La ecuación para las amplitudes a j
∑
(V ij − ωkT 2 ij )a j = 0, (4.125)
equivale a un sistema de 2 ecuaciones para cada ω k ,
j
i = 1 : −ωk 2(m 1 + m 2 )a 1 − ωk 2m 2la 2 = 0
i = 2 : −ωk 2m 2la 1 − (m 2 gl − ωk 2m 2l 2 )a 2 = 0.
(4.126)
Para ω 1 = 0, las amplitudes del modo correspondiente resultan en
a 2 (ω 1 ) = 0, a 1 (ω 1 ) = arbitrario. (4.127)