Mecánica Clásica

4.2. OSCILACIONES DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 157
La ecuación de movimiento para una pequeña desviación del equilibrio η k es
d
dt
( ∂L
∂ ˙η k
)
− ∂L
∂η k
= 0. (4.42)
Evaluamos los términos
⎛
∂L
= 1 ∑
T ij (δ ik ˙η j + δ jk ˙η i ) = 1 ⎝ ∑ T kj ˙η j + ∑ ∂ ˙η k 2
2
i,j
j
i
∂L
= − 1 ∑
(V ij δ ik η j + V ij δ jk η i ) = − ∑ V kj η j .
∂η k 2
i,j
j
T ik ˙η i
⎞
⎠ = ∑ j
T kj ˙η j ,
Luego, la ecuación de movimiento Ec. (4.42) para la desviación η k queda
∑
(T kj ¨η j + V kj η j ) = 0 , (4.43)
j
donde cada término de la suma tiene la forma de una ecuación para un oscilador armónico.
Existen s ecuaciones de movimiento de este tipo para el sistema, k = 1, 2, . . . , s. La
solución de la Ec. (4.43) tiene la forma
η j (t) = a j e iωt , (4.44)
donde ω es la frecuencia del movimiento oscilatorio. Sustituyendo en la Ec. (4.43), junto
con ¨η j = −ω 2 a j e iωt , obtenemos
∑
(−ω 2 T kj + V kj )a j e iωt = 0
j
⇒ ∑ j
(V ij − ω 2 T ij )a j = 0 , (4.45)
donde hemos renombrado el índice k → i. El conjunto de ecuaciones Ec. (4.45) para
los grados de libertad i = 1, 2, . . . , s constituye un sistema de s ecuaciones lineales homogéneas
para los coeficientes a j , con j = 1, 2, . . . , s. Como ejemplo, consideremos el
sistema Ec. (4.45) con s = 2,
i = 1 : (V 11 − ω 2 T 11 )a 1 + (V 12 − ω 2 T 12 )a 2 = 0
i = 2 : (V 21 − ω 2 T 21 )a 1 + (V 22 − ω 2 T 22 )a 2 = 0.
(4.46)
En general, existe solución no trivial η j (t) ≠ 0 si a j ≠ 0, ∀j. Esta condición se
cumple para los coeficientes a 1 , . . . , a s en el sistema Ec. (4.45) si el determinante de estos
coeficientes es cero:
det ∣ ∣
∣V ij − ω 2 T ij = 0 . (4.47)
La condición Ec. (4.47) constituye una ecuación algebraica de grado s para ω 2 , que se
denomina ecuación característica. Las s raíces de la ecuación característica dan como