Mecánica Clásica

218
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
La tercera equación da Ω 3 = cte. Puesto que l 3 = l cos θ, tenemos
l 3 = I 33 Ω 3 = l cos θ ⇒ Ω 3 = l cos θ
I 33
= cte ⇒ θ = cte. (5.229)
La primera y la segunda ecuación se pueden entonces escribir como
donde definimos
˙Ω 1 = −ωΩ 2 (5.230)
˙Ω 2 = −ωΩ 1 , (5.231)
ω = (I 33 − I 11 )
I 11
Ω 3 = (I 33 − I 11 )
I 11 I 33
l cos θ = cte. (5.232)
Luego,
¨Ω 1 = −ω ˙Ω 2 ⇒ ¨Ω 1 = −ω 2 Ω 1 . (5.233)
Las soluciones para Ω 1 y Ω 2 son
Ω 1 = A cos ωt
Ω 2 = A sin ωt
(5.234)
donde A = (Ω 2 1 + Ω 2 2) 1/2 es constante. Luego, Ω rota con respecto a la dirección
fija de l, manteniendo su proyección Ω 3 sobre el eje x 3 constante mientras que su
proyección sobre el plano (x 1 , x 2 ) rota con velocidad angular constante ω.
La velocidad angular de precesión ˙φ, tanto del eje x 3 como del vector Ω, alrededor
de l (eje z) se puede calcular a partir de
l 2 = I 22 Ω 2 = l sin θ. (5.235)
Sustituyendo la expresión de Ω 2 en términos de los ángulos de Euler, y tomando
ψ = 0 (usando la simetría axial del trompo), tenemos
I 22 ˙φ sin θ = l sin θ ⇒ ˙φ =
l
I 11
. (5.236)
La velocidad angular de rotación ˙ψ del trompo sobre su eje x 3 se puede calcular
usando
Ω 3 = ˙ψ + ˙φ cos θ (5.237)
⇒ ˙ψ = Ω 3 − ˙φ cos θ (5.238)
= l cos θ − l cos θ (5.239)
I 33 I 11
= (I 33 − I 11 )
I 11 I 33
l cos θ = ω. (5.240)