Mecánica Clásica

2.5.
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y HOMOGENEIDAD DEL TIEMPO 79
En general, si un sistema posee simetría rotacional alrededor de un eje (simetría
axial), se conserva la componente del momento angular en la dirección de ese eje. Si una
coordenada generalizada q j = ϕ es un ángulo que representa una rotación alrededor de
un eje y es cíclica, entonces
Si el eje de rotación es z, entonces p ϕ = l z = cte.
∂L
= ∂L
∂q j ∂ϕ = 0 ⇒ p ϕ = ∂L = cte. (2.48)
∂ ˙ϕ
2.5. Conservación de la energía y homogeneidad del
tiempo
Homogeneidad del tiempo significa que las propiedades mecánicas de un sistema no
dependen del intervalo de tiempo en el cual se observen. Esta simetría está relacionada
con la conservación de energía.
En un sistema homogéneo en el tiempo, L no depende explícitamente de t: L(q j , ˙q j );
luego ∂L
∂t = 0.
Calculemos el cambio total de L con respecto al tiempo en tal sistema:
dL
dt =
s∑
[ ∂L
q˙
j + ∂L ]
¨q j
∂q j ∂q˙
j
j=1
0
∂L
+ ✓ ✓✼
✓ ∂t . (2.49)
Sustituimos la ecuación de Lagrange, ∂L = d ( ) ∂L
,
∂q j dt ∂q˙
j
dL
dt = ∑ [ ( ) d ∂L
q˙
j + ∂L ]
¨q j
dt ∂q˙
j
j ∂q˙
j
⎡ ⎤
= ∑ ( )
d ∂L
q˙
j = d ⎣ ∑ ∂L
q˙
j
⎦ . (2.50)
dt ∂q˙
j
j dt ∂q˙
j j
Luego,
[
d ∑
dt
i
⇒ ∑ j
]
∂L
q˙
j − L
∂q˙
j
= 0 (2.51)
∂L
q˙
j − L = cte. (2.52)
∂q˙
j
Definimos la función de energía de un sistema como
E(q j , q˙
j ) ≡
s∑
j=1
∂L
q˙
j − L . (2.53)
∂q˙
j