Mecánica Clásica

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 269
Las coordenadas constantes Q 1 , Q 2 y Q 3 de la transformación canónica generada
por S satisfacen las relaciones
Q 1 = ∂S
∂E =
Q 2 = ∂S
∂p φ
=
Q 3 = ∂S
∂P 3
=
∂W r
∂E (r, E, P 3) − t = Q 1 (r, E, P 3 , t), (6.286)
∂W θ
(θ, p φ , P 3 ) + φ =
∂p φ
Q 2 (θ, φ, p φ , P 3 ), (6.287)
∂W r
+ ∂W θ
∂P 3 ∂P 3
= Q 3 (r, θ, E, φ, P 3 ). (6.288)
La Ec. (6.286) permite encontrar la solución r = r(E, P 3 , Q 1 , t). Esta solución para r
se puede sustituir en la Ec. (6.288), y entonces las Ecs. (6.287) y (6.288) constituyen
un sistema de dos ecuaciones para θ y φ, las cuales pueden resolverse dando como
resultado θ = θ(E, p φ , P 3 , Q 1 , Q 2 , Q 3 , t) y φ = φ(E, p φ , P 3 , Q 1 , Q 2 , Q 3 , t).
Por otro lado, consideremos las Ecs. (6.271)-(6.272) para los momentos
p r = ∂S
∂r = ∂W r
∂r = p r(r, E, P 3 ), (6.289)
p θ = ∂S
∂θ = ∂W θ
∂θ = p θ(θ, P 3 , p φ ). (6.290)
Sustitución de las soluciones para las coordenadas r y θ en estas ecuaciones conduce
a las soluciones para los momentos p r y p θ (p φ es una constante) en función del
tiempo y de las constantes E, p φ , P 3 , Q 1 , Q 2 , Q 3 .
Luego, el método de la ecuación de Hamilton-Jacobi permite obtener la solución
completa de las ecuaciones de movimiento (coordenadas y momentos) en términos
de las seis constantes E, p φ , P 3 , Q 1 , Q 2 , Q 3 .
3. Relación entre la ecuación de onda de Schrödinger de la Mecánica Cuántica y la
ecuación de Hamilton-Jacobi de la Mecánica Clásica.
Figura 6.17: Erwin Schrödinger (1887-1961).
Consideremos, por simplicidad, la ecuación de Schrödinger unidimensional para la
función de onda Ψ(x, t) de una partícula de masa m en el potencial V (x, t),
i ∂Ψ
∂t = − 2 ∂ 2 Ψ
+ V (x, t)Ψ . (6.291)
2m ∂x2