Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
Otro ejemplo de un sistema no integrable, no lineal y caótico, es el péndulo de resorte,
cuyas ecuaciones de movimiento también las calculamos en el Cap. 1,
r¨θ + 2ṙ ˙θ + g sin θ = 0, (2.100)
¨r − r ˙θ 2 + k (r − l) − g cos θ = 0. (2.101)
m
Este sistema exhibe comportamiento caótico para ciertos valores de su energía.
Figura 2.6: Movimiento en el plano (x, y) de la partícula en el péndulo de resorte, para diferentes
valores de su energía E. Izquierda: comportamiento regular. Derecha: caos.
Note que no se requieren muchas variables (hay solamente dos grados de libertad en
el péndulo doble o en el péndulo de resorte) para la ocurrencia de caos en un sistema.
Se ha descubierto que el caos es un fenómeno universal en la Naturaleza. Sistemas
no lineales físicos, químicos, biólogicos, fisiológicos, económicos, sociales, etc. presentan
comportamiento caótico; el cual se manifiesta con propiedades universales independientemente
del contexto.
2.9. Movimiento unidimensional.
El caso más simple de integrabilidad es un sistema con un sólo grado de libertad q, el
cual se denomina sistema unidimensional. El Lagrangiano de un sistema unidimensional
tiene la forma general
L = T ( ˙q 2 ) − V ef (q) = 1 2 a ˙q2 − V ef (q) , (2.102)
donde el factor a representa algunos parámetros, como masa, etc., y V ef (q) corresponde
a un potencial efectivo que contiene términos dependientes de la coordenada q.