Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Figura 5.32: Sistemas de referencia (x, y.z) y (x 1, x 2, x 3) para el girocompás. Izquierda: velocidad
angular de la Tierra y latitud α del instrumento. Derecha: vista instantánea del girocompás
desde el eje x 2, paralelo al eje y y a la dirección de ˙θ. NS: dirección Norte-Sur local corresponde
al eje z.
Las componentes de la velocidad angular de la Tierra en (x, y.z) son
ν x = 0 (5.204)
ν y = ν sin α (5.205)
ν z = ν cos α (5.206)
Supongamos que la dirección de ˙θ en un instante dado está sobre el eje x 2 (simetría
del disco permite esta simplificación). Entonces, las componentes de la velocidad
angular instantánea Ω del disco en (x 1 , x 2 , x 3 ) se pueden expresar como (Fig. (5.32))
Ω 1 = −ν z sin θ = −ν cos α sin θ (5.207)
Ω 2 = ν y + ˙θ = ν sin α + ˙θ (5.208)
Ω 3 = ν z cos θ + ω = ν cos α cos θ + ω (5.209)
Puesto que el instrumento es libre de rotar sobre el eje y, no hay componente del
torque en dirección de y, que corresponde en este instante al eje x 2 . Entonces,
consideremos la ecuación de Euler Ec. (5.172) correspondiente a τ 2 = 0,
Sustitución de las componentes de Ω da
τ 2 = I 22 ˙Ω2 + Ω 1 Ω 3 (I 11 − I 33 ) = 0. (5.210)
I 11 ¨θ + (I33 − I 11 )ν cos α sin θ (ν cos α cos θ + ω) = 0. (5.211)
dondehemos usado I 11 = I 22 . Pero ω ≫ ν ⇒ ω ≫ ν cos α cos θ. Luego, podemos
escribir
I 11 ¨θ + (I33 − I 11 )νω cos α sin θ ≈ 0 (5.212)