Mecánica Clásica

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La coordenada r ′ se puede expresar, en general, como la distancia entre la partícula en
consideración y otra partícula (o influencia externa) con la cual aquella interactúa. Es
decir,
r ′ = r ′ i − r ′ j = r i − r j = r.
(A.11)
Luego, ∇ ′ V (r ′ ) = ∇V (r). De acuerdo a las transformaciones de Galileo Ec. (A.1), la
Ec. (A.5) en el sistema de referencia S’ se expresa en el sistema S como
m d2 r
= −∇V (r) = F(r).
dt2 (A.12)
Por lo tanto, la Segunda ley de Newton es invariante (conserva su forma) bajo las transformaciones
de Galileo, y el principio de relatividad de Galileo es válido para estas transformaciones.
Sin embargo, en contraste con el comportamiento de las leyes de la Mecánica, las
leyes del Electromagnetismo no son invariantes ante las transformaciones de Galileo.
Las ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t) son
∇ · E = 4πρ
∇ × E + 1 ∂B
c ∂t = 0
∇ · B = 0
∇ × B − 1 ∂E
c ∂t = 4π c J
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
Note que las ecuaciones de Maxwell contienen términos de la forma ∂Ej
∂t
(r, t), donde
E j es la componente j del campo eléctrico (también contienen términos similares para el
campo magnético).
Consideremos la componente E j (r ′ , t ′ ) en S’. Entonces,
∂E j
∂t ′ (r′ , t ′ ) = ∑ i
∂E j ∂x ′ i
∂x ′ i ∂t ′ + ∂E j
∂t ′
= − ∑ i
∂E j
∂x ′ v i + ∂E j
i ∂t
(A.17)
donde hemos usado las transformaciones de Galileo
⇒
x ′ i = x i − v i t, t ′ = t (A.18)
∂x′ i
∂t ′
= ∂x′ i
∂t = −v i.
(A.19)
Luego,
∂E j
= ∂E j
∂t ∂t ′ + v · ∇ ′ E j . (A.20)
Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de
Galileo sólo si v = 0; es decir, conservan su forma solamente en un sistema de referencia
inercial en reposo con respecto al medio en el cual se propaga la luz. (El “medio”
correspondiente al vacío se denominaba éter).
Ante esta situación, se presentan los siguientes escenarios posibles: