Mecánica Clásica

6.3.
PARÉNTESIS DE POISSON. 239
1. [f, g] = −[g, f] , [f, f] = 0 (antisimetría).
2. [f, c] = 0 , si c = cte.
3. [af 1 + bf 2 , g] = a[f 1 , g] + b[f 2 , g], a, b = ctes. (operador lineal).
4. [f 1 f 2 , g] = f 1 [f 2 , g] + f 2 [f 1 , g], (no asociativo).
5. [f, [g, h]]+[g, [h, f]]+[h, [f, g]] = 0 (suma de permutaciones cíclicas es cero). Esta
propiedad se conoce como la identidad de Jacobi.
Estas propiedades pueden demostrarse directamente a partir de la definición en la Ec. (6.74).
Adicionalmente, puesto que los p i y q i representan coordenadas independientes en el espacio
de fase, tenemos ∀f,
⎛
[q i , f] = ∑ 0 ⎞
⎜
⎝ ∂q i ∂f ∂q
−
∂q k ∂p ✓ ✓✼ i ∂f ⎟
⎠ = ∑ ∂f
δ ik = ∂f , (6.78)
k
k
✓∂p k ∂q k ∂p k ∂p i
k
[p i , f] = ∑ k
⎛
0
⎜ ∂p
⎝ ✓ ✓✼ i ∂f
✓ ∂q k ∂p k
⎞
− ∂p i ∂f ⎟
⎠ = − ∑ ∂p k ∂q k
k
δ ik
∂f
∂q k
= − ∂f
∂q i
. (6.79)
Note que si f = p j , ó f = q j ,
[q i , q j ] = 0, [p i , p j ] = 0, [q i , p j ] = δ ij . (6.80)
Utilizando paréntesis de Poisson, las ecuaciones de Hamilton pueden escribirse
˙q i = ∂H =
∂p i
[q i , H] (6.81)
ṗ i = − ∂H =
∂q i
[p i , H]. (6.82)
Figura 6.13: Siméon Denis Poisson (1781-1840).
En Mecánica Cuántica, la operación [A, B] = AB − BA se denomina el conmutador
de los operadores A y B. En particular, [q i , p j ] = iδ ij . La estructura algebraica de la
Mecánica Clásica se preserva en la Mecánica Cuántica.