Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
V = −(m 1 + m 2 )gl 1 cos θ 1 − m 2 gl 2 cos θ 2 . (4.61)
Las posiciones de equilibrio están dadas por
∂V
∂θ 1
∣ ∣∣∣θ01
= 0 ,
∂V
∂θ 2
∣ ∣∣∣θ02
= 0 ⇒ θ 01 = 0, θ 02 = 0. (4.62)
La energía potencial es mínima para estos valores de las coordenadas en el equilibrio.
Consideremos pequeñas oscilaciones alrededor de la configuración de equilibrio,
θ 1 = θ 01 + η 1 = η 1 , θ 2 = θ 02 + η 2 = η 2 , (4.63)
donde η 1 y η 2 son pequeños. Luego, cerca del equilibrio,
cos θ 1 = cos η 1 ≃ 1 − η2 1
2 , cos θ 2 = cos η 2 ≃ 1 − η2 2
2 , (4.64)
cos(θ 1 − θ 2 ) = cos(η 1 − η 2 ) ≃ 1 − 1 2 (η 1 − η 2 ) 2 . (4.65)
Manteniendo términos hasta segundo orden, obtenemos
T = 1 2 (m 1 + m 2 )l 2 1 ˙η 2 1 + 1 2 m 2l 2 2 ˙η 2 2 + m 2 l 1 l 2 ˙η 1 ˙η 2 , (4.66)
V = 1 2 (m 1 + m 2 )gl 1 η1 2 + 1 2 m 2gl 2 η2 2 , (4.67)
donde se han suprimido términos constantes en V .
Comparando con las formas generales cerca del equilibrio, tenemos
T = 1 2
obtenemos los coeficientes
∑
T ij ˙η i ˙η j , V = 1 ∑
V ij η 1 η j , (4.68)
2
i,j
i,j
T 11 = (m 1 + m 2 )l1, 2 T 22 = m 2 l2, 2 T 12 = T 21 = m 2 l 1 l 2
V 11 = (m 1 + m 2 )gl 1 , V 22 = m 2 gl 2 , V 12 = V 21 = 0.
(4.69)
Los coeficientes V ij también pueden obtenerse directamente como
V 11 =
V 22 =
( ∂ 2 )
V
∂θ 2 1
( ∂ 2 )
V
∂θ 2 2
(θ 01,θ 02)
(θ 01,θ 02)
= (m 1 + m 2 )gl 1 , (4.70)
= m 2 gl 2 , (4.71)
( ∂ 2 V
V 12 = V 21 =
= 0. (4.72)
∂θ 1 ∂θ 2
)(θ 01,θ 02)