Mecánica Clásica

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 259
Sustituyendo en q(P, Q) y p(P, Q), obtenemos
√
2E
q = sin(ωt + ϕ), (6.215)
mω2 donde
p = √ 2Em cos(ωt + ϕ), (6.216)
( 2E
mω 2 ) 1/2
es la amplitud de la oscilación y ϕ es la fase.
6.8. Ecuación de Hamilton-Jacobi.
Hemos visto que una transformación canónica (q i , p i , t) → (P i , Q i , t) puede ser usada
para encontrar las soluciones de las ecuaciones de Hamilton para un sistema con un Hamiltoniano
H(q i , p i , t), mediante las soluciones de esas ecuaciones para un Hamiltoniano
transformado en nuevas variables H ′ (Q i , P i , t), tal que alguna (o varias) coordenada Q j
sea cíclica en H ′ . Una vez encontrada la solución en las nuevas variables (Q i (t), P i (t)), las
relaciones de la transformación canónica pueden ser empleadas para expresar la solución
en las variables originales
q i = q i (Q i (t), P i (t), t) , p i = p i (Q i (t), P i (t), t). (6.217)
Alternativamente, es posible buscar una transformación canónica (q i , p i , t) → (P i , Q i , t)
tal que las nuevas coordenadas y momentos (P i , Q i ) correspondan a 2s constantes, las cuales
pueden expresarse en función de las 2s condiciones iniciales (q i (0), p i (0)), i = 1, . . . , s.
En este caso, el nuevo Hamiltoniano H ′ (Q i , P i ) es constante y todas las Q i y P i son
cíclicas en H ′ . Entonces, las ecuaciones de transformación que relacionan las nuevas y
viejas variables proporcionan directamente la solución del problema del movimiento,
q = q(q i (0), p i (0), t) , p = p(q i (0), p i (0), t). (6.218)
Figura 6.15: Trayectoria q i(t) que pasa por los puntos q i(t 1) y q i(t 2).
En particular, si requerimos que la transformación canónica que conduce a nuevos
momentos y coordenadas constantes, P i ≡ α i = cte, Q i ≡ β i = cte, sea tal que