Mecánica Clásica

3.4. PROBLEMA DE KEPLER. 117
Sustituyendo q y e, obtenemos
( ) l
2
r min =
1 +
µk
√
1 + 2El2
µk 2 . (3.114)
El movimiento de la masa reducida µ en el potencial V = −k/r sigue la trayectoria
de una cónica dada por la Ec. (3.110). El tipo de cónica (circunferencia, elipse, parábola,
hipérbola) que describe la partícula de masa µ en el potencial V (r) = −k/r depende del
valor de la excentricidad e y, por tanto, de la energía total E, segun la Ec. (6.152).
La órbita de cada una de las partículas m 1 y m 2 , separadas por una distancia r, es
una sección cónica con un foco en el centro de masa del sistema.
Figura 3.13: Potencial efectivo para el problema de Kepler.
El movimiento radial ocurre en el potencial efectivo V ef = −k/r + l 2 /2µr 2 , correspondiente
al potencial V (r) = −k/r, Fig. (3.13). Las órbitas posibles descritas por la
Ec. (3.110) y compatibles con este potencial efectivo son
1. E = − µk2
2l 2
⇒ e = 0, circunferencia de radio r o = q = l2
µk .
2. E < 0 ⇒ e < 1, elipse (movimiento radial finito, r ∈ [r min , r max ] ).
3. E = 0 ⇒ e = 1, parábola (movimiento infinito, r max → ∞).
4. E > 0 ⇒ e > 1, hipérbola (movimiento infinito, r max → ∞).
Analicemos estas órbitas con más detalle.
1. Órbita circular.
La ecuación de la cónica Ec. (3.101) con e = 0 describe una partícula con energía
E = − µk2
2l 2 , (3.115)