Mecánica Clásica

206
CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Entonces, el Lagrangiano del sistema en términos de los ángulos de Euler es
L =
( ) 2 ( ) 2
I 33
′ ˙φ sin θ sin ψ + ˙θ cos ψ + I
′
33 ˙φ sin θ cos ψ − ˙θ sin ψ
(
˙ψ + ˙φ
) 2
cos θ − mgd sin θ sin ψ
+ I′ 33
2
= I ′ 33( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) + I′ 33
2
(
˙ψ + ˙φ
) 2
cos θ − mgd sin θ sin ψ. (5.161)
La coordenada φ es cíclica, por lo que su momento conjugado es constante,
∂L
∂ ˙φ = 2I′ ˙φ
(
33 sin 2 θ + I 33
′ ˙ψ + ˙φ cos θ)
cos θ
[
= I 33 ′ ˙φ(1 + sin 2 θ) + ˙ψ
]
cos θ ≡ l z = cte. (5.162)
La cantidad conservada es la componente z del momento angular, puesto que el
torque ejercido por la fuerza gravitacional no posee componente en la dirección z.
El Lagrangiano no depende explicitamente del tiempo, lo que implica que la energía
mecánica total se conserva,
E = T + V = cte.
= I ′ 33( ˙θ 2 + ˙φ 2 sin 2 θ) + I′ 33
2
(
˙ψ + ˙φ
) 2
cos θ + mgd sin θ sin ψ. (5.163)
El sistema posee tres grados de libertad (los ángulos de Euler) y dos cantidades
conservadas E y l z , relacionadas con las simetrías explícitas del Lagrangiano del
sistema. Sofia Kovalevskaya encontró una tercera cantidad conservada no trivial,
cuya relación con las simetrías del sistema no es en absoluto evidente,
K ≡
(
Ω 2 1 − Ω 2 2 − mgd ) 2
I 33
′ u 1 +
(
2Ω 1 Ω 2 − mgd ) 2
I 33
′ u 2 = cte. (5.164)
Sustitución de Ω 1 , Ω 2 y u 2 , en términos de los ángulos de Euler conduce, después
del álgebra correspondiente, a
(
K = ˙θ2 − ˙φ
) 2 2 sin 2 mgd
[(
θ + 2 θ 2 − ˙φ
)
2 sin 2 θ sin ψ − 2 ˙θ ˙φ
]
sin θ cos ψ sin θ
+
I ′ 33
( ) 2 mgd
sin 2 θ. (5.165)
I ′ 33
La existencia de la constante K, junto con E y l z , permite que este sistema sea
integrable, aunque el procedimiento matemático para reducir las ecuaciones de movimiento
es bastante laborioso. La simetría asociada con la cantidad conservada K
no es evidente. El método desarrollado por Kovalevskaya para encontrar esta cantidad
conservada sigue siendo un problema de investigación. Se han descubierto unos
pocos sistemas dinámicos que poseen cantidades conservadas para ciertos valores
de sus parámetros, y que están relacionadas con simetrías no triviales del sistema.