Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
2. Rotación: corresponde a una órbita tal que p i es una función periódica de q i , con
período q 0 i . Los valores de p i están acotados, pero los de q i pueden incrementarse
indefinidamente. Ejemplos son los movimientos de un cuerpo rígido libre y de un
trompo simétrico con un punto fijo, donde la coordenada q i es un ángulo que puede
incrementarse en 2π sin cambio en la configuración del sistema. En general, la
coordenada q i asociada a este tipo de órbita corresponde a un ángulo de rotación.
.
Figura 6.18: (a) Libración. (b) Rotación. (c) Libración y rotación en el espacio de fase de un
péndulo simple.
Ambos tipos de órbitas periódicas pueden aparecer en un sistema dinámico, dependiendo
de los valores de sus parámetros. El péndulo simple es un ejemplo clásico, donde
la coordenada q es el ángulo θ con respecto a la vertical. La energía del sistema es
E =
de donde obtenemos la órbita en el plano (q, p),
p2
− mgl cos q , (6.307)
2ml2 p(q, E) = ± √ 2ml 2 (E + mgl cos q) . (6.308)
Si E < mgl, entonces q oscila entre los puntos de retorno q 1,2 = ± cos −1 (− E
mgl
)
, para
los cuales p = 0. Bajo estas condiciones, la trayectoria en el plano (q, p) es una órbita
cerrada y corresponde a un movimiento periódico de libración. Por otro lado, si E > mgl,
todos los valores del ángulo q son físicamente posibles, y q se incrementa indefinidamente
para producir un movimiento periódico del tipo de rotación. En este caso, el péndulo
posee suficiente energía para dar la vuelta en una dirección por encima de la posición
vertical invertida q = π y, por lo tanto, continúa rotando en esa dirección.