Mecánica Clásica

Capítulo 6
Dinámica Hamiltoniana
6.1. Ecuaciones de Hamilton.
La formulación de la Mecánica a partir del Lagrangiano L(q i , ˙q i , t), i = 1, 2, . . . , s,
describe el movimiento de un sistema en términos de sus coordenadas y velocidades
generalizadas, lo cual se denomina el espacio de configuración (q i , ˙q i ).
Otra descripción alternativa del movimiento de un sistema es posible en términos de
sus coordenadas generalizadas q i y de sus momentos conjugados p i , lo cual se llama el
espacio de fase (p i , q i ) del sistema. El espacio de fase es empleado para representar la
evolución de sistemas en diversas áreas de la Física, tales como Mecánica Estadística y
Sistemas Dinámicos.
Veamos cómo transformar la descripción del movimiento desde el espacio de configuración
(q 1 , ˙q i ) al espacio de fase (p i , q i ). Consideremos un sistema cuyo Lagrangiano es
L(q i , ˙q i , t). El diferencial total del Lagrangiano como función de sus argumentos es
dL(q i , ˙q i , t) = ∑ i
∂L
∂q i
dq i + ∑ i
∂L
d ˙q i + ∂L dt. (6.1)
∂q˙
i ∂t
Los momentos conjugados asociado a las coordenadas generalizadas {q i } son
p i = ∂L
∂ ˙q i
= p i (q i , ˙q i , t) i = 1, 2, . . . , s. (6.2)
A partir del conjunto de Ecs. (6.2) es posible, en principio, obtener las velocidades generalizadas
˙q i como función de los momentos p i , las coordenadas q i y t,
˙q i = ˙q i (p i , q i , t) i = 1, 2, . . . , s. (6.3)
Las ecuaciones de Lagrange correspondientes se pueden escribir
d
dt
( ∂L
∂ ˙q i
)
= ∂L
∂q i
(6.4)
⇒ ṗ i = ∂L
∂q i
. (6.5)
223