Mecánica Clásica

6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 271
6.9. Variables de acción-ángulo.
Supongamos que tenemos un sistema dinámico con las siguientes condiciones:
(1) su Hamiltoniano H(q i , p i ) es constante,
(2) el sistema es completamente separable,
(3) sus movimientos son finitos.
La condición (1) implica que podemos escribir la ecuación Hamilton-Jacobi independiente
del tiempo para el sistema,
( )
∂W
H (q i , P i ), q i = E , (6.302)
∂q i
donde P i = α i = cte. Debido a la condición (2), podemos expresar la función característica
de Hamilton como
W (q 1 , . . . , q s , α 1 , . . . , α s ) =
s∑
W i (q i , α 1 , . . . , α s ). (6.303)
Como vimos en la sección anterior, W constituye la función generadora tipo F 2 (q i , P i )
de la transformación canónica (q i , p i ) → (Q i , α i ), cuyas relaciones están dadas por
i=1
p i = ∂W i
∂q i
(q i , α 1 , . . . , α s ) , (6.304)
Q i = ∂W i
∂α i
(q i , α 1 , . . . , α s ) . (6.305)
El nuevo Hamiltoniano entonces tiene la forma H ′ (α 1 , . . . , α s ) = E.
La Ec. (6.304) implica la relación funcional
p i = p i (q i , α 1 , . . . , α s ), (6.306)
la cual define una curva o trayectoria sobre el plano (q i , p i ) que depende de los parámetros
α 1 , . . . , α s . Esta curva es una proyección sobre el plano (q i , p i ) de la trayectoria del sistema
en su espacio de fase 2s-dimensional. Adicionalmente, la condición (3) implica que esta
curva debe ser una órbita cerrada o periódica en el plano (q i , p i ), que denotamos por C i .
Existe una tal órbita C i en cada uno de los planos (q i , p i ) del espacio de fase.
La órbita C i en un plano (q i , p i ) refleja la periodicidad de las variables conjugadas p i
y q i , y puede ser de dos tipos:
1. Libración: ocurre cuando los valores de ambos, q i y p i , se repiten, trazando una
órbita cerrada. En este caso, tanto q i como p i , son funciones periódicas en el tiempo.
El oscilador armónico y el problema de Kepler con E < 0 son ejemplos de este tipo
de órbitas. Las órbitas de libración son curvas cerradas que no siempre son elipses.