Mecánica Clásica

Capítulo 2
Leyes de conservación y
simetrías
2.1. Momento conjugado
Dado un sistema caracterizado por un Lagrangiano L(q j , q˙
j , t), se define la cantidad
p j ≡ ∂L
(2.1)
∂q˙
j
como el momento conjugado (o canónico) asociado a la coordenada generalizada q j .
La cantidad p j no tiene necesariamente unidades de momento lineal; puede también
corresponder a momento angular u a otras cantidades.
Si un Lagrangiano L de un sistema no contiene explícitamente una coordenada q j
(puede contener q˙
j , t), se dice que q j es una coordenada cíclica o ignorable.
Si q j es cíclica, entonces
∂L
= 0, (2.2)
∂q j
y la ecuación de Lagrange para una coordenada cíclica q j resulta en
( )
d ∂L
= dp j
= 0, (2.3)
dt ∂q˙
j dt
⇒ p j = cte. (2.4)
Es decir, el momento conjugado p j asociado a una coordenada ciclica q j es constante.
Luego, la cantidad p j = cte constituye una cantidad conservada, llamada también una
primera integral del movimiento.
En general, si el Lagrangiano de un sistema no depende explícitamente de una coordenada
que representa un desplazamiento en una dirección espacial dada, la componente
del momento lineal correspondiente a esa dirección se conserva.
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