Mecánica Clásica

6.10. PROBLEMAS 291
21. a) Demuestre que la siguiente transformación es canónica:
x =
y =
1
√ mω
( √ 2P 1 sin Q 1 + P 2 ),
1
√ mω
( √ 2P 1 cos Q 1 + Q 2 ),
p x = 1 2√ mω(
√
2P1 cos Q 1 − Q 2 ),
p y = 1 2√ mω(−
√
2P1 sin Q 1 + P 2 ).
b) Encuentre las ecuaciones de movimiento en la formulación hamiltoniana en
términos de las variables (Q 1 , Q 2 , P 1 , P 2 ) para una partícula de masa m y carga q
que se mueve en el plano (x, y), sujeta al potencial vector A = (−yB/2, xB/2, 0),
usando ω = qB/mc.
22. Considere la transformación infinitesimal de traslación
R = r + ɛ a, P = p ,
donde a es un vector fijo en el espacio y ɛ es un parámetro infinitesimal. Encuentre
G tal que esta transformación sea generada por la función F 2 = r · P + ɛG(r, P).
23. Una partícula de masa m se mueve en una dimensión q con una energía potencial
V (q) y sometida a una fuerza de fricción −2mγ ˙q.
a) Demuestre que el Lagrangiano del sistema es
[ ]
1
L = e 2γt 2 m ˙q2 − V (q) .
b) Encuentre las ecuaciones de Hamilton para la partícula.
c) Si V (q) = 1 2 mω2 q 2 , ω = cte, demuestre que la función generadora
F 2 (q, P, t) = e γt qP
permite transformar a un Hamiltoniano constante.
24. Las ecuaciones de transformación entre dos conjuntos de coordenadas son
Q = log(1 + √ q cos p),
P = 2(1 + √ q cos p) √ q sin p.
a) Demuestre que la transformación es canónica.
b) Demuestre que la función generadora de esta transformación es
F 3 (p, Q) = −(e Q − 1) 2 tan p.