Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Del mismo modo, la Ec. (3.23) permite la integración de θ,
Sustituyendo la Ec. (3.26), obtenemos
˙θ = dθ
dt = l
µr 2 (3.28)
⇒ dθ =
l dt
µr2 (3.29)
⇒ dθ
dr = l dt
µr 2 dr . (3.30)
dθ
dr = l √ µ 1
√
µr 2 . (3.31)
2
E − V (r) −
l2
2µr 2
Usando las condiciones iniciales en t = 0, r = r 0 , θ = θ 0 , podemos expresar
θ =
√ l ∫ r
2µ
r 0
dr
√
r 2 E − V (r) −
+ θ 0 (3.32)
l2
lo cual da θ(r). Sustitución de r(t), da θ(r(t)) = θ(t), por lo que las coordenadas r y θ
pueden determinarse en función del tiempo. En total hay cuatro constantes de integración,
E, l, r 0 , θ 0 , θ 0 , para las coordenadas r y θ. Las cuatro constantes aparecen porque
tenemos una ecuación de Lagrange para r y otra para θ, ambas de segundo orden, y las
cuales requieren dos constantes de integración cada una.
Cabe observar que las constantes E y l aparecen también el problema de un potencial
central en Mecánica Cuántica.
En resumen, las seis cantidades conservadas que permiten integrar las seis coordenadas
en el problema de dos cuerpos sujetos a un potencial central V (r) son
Las tres componentes del vector velocidad del centro de masa Ṙ. Se expresan como
I 1 = ẋ cm = cte, I 2 = ẏ cm = cte, I 3 = ẏ cm = cte. Esto reduce el problema al
movimiento del vector de posición relativa r (tres coordenadas).
La dirección del momento angular l. Esto reduce el movimiento a un plano (dos
coordenadas). Se puede expresar como I 4 = z = 0.
La magnitud del momento angular. Se expresa como I 5 = µr 2 ˙θ = l. Esto permite
reducir una coordenada.
La energía total. Corresponde a I 6 = 1 2 µṙ2 + 1 2 µr
+V (r) = E. Esto permite reducir
2
el problema de dos cuerpos a un problema unidimensional equivalente.
La integración explícita de θ en la Ec. (3.32) (y la de t en la Ec. (3.27)) en términos
de funciones elementales depende de la forma funcional del potencial V (r).
l 2