Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
Una fuerza con esta forma se denomina fuerza central. Luego, si la fuerza de interacción
entre las dos partículas es una fuerza central, el torque resultante es cero,
τ = r × f(r)ˆr = 0 (3.16)
⇒ l = r × p = cte. (3.17)
El vector momento angular total l se conserva. Luego, tanto la dirección como la magnitud
de l son constantes, lo que proporciona una cuarta y una quinta cantidad conservada,
respectivamente. Como l es perpendicular al plano (r, p), la constancia de la dirección de
l implica que el movimiento siempre ocurre sobre ese mismo plano. Luego, el movimiento
de la partícula de masa equivalente µ está confinado al plano (r, p) y, por lo tanto, se
puede describir mediante dos coordenadas.
Figura 3.4: Coordenadas polares sobre el plano del movimiento perpendicular a l.
Luego, escogiendo la dirección de l en la dirección z, el plano del movimento es
(x, y). La simetría radial sugiere escoger coordenadas polares (r, θ) como coordenadas
generalizadas sobre el plano del movimiento. Entonces,
x = r cos θ ; ẋ = ṙ cos θ − r ˙θ sin θ (3.18)
y = r sin θ ; ẏ = ṙ sin θ + r ˙θ cos θ (3.19)
Luego, ṙ 2 = ( ẋ 2 + ẏ 2) (
= ṙ 2 + r 2 θ ˙
), 2 y el Lagrangiano Ec. (3.14) para un potencial
central resulta en
L = 1 ) (ṙ
2 µ 2 + r 2 θ˙
2 − V (r). (3.20)
A partir de las simetrías contenidas en el Lagrangiano, Ec. (3.20), se pueden obtener
las restantes cantidades conservadas en el sistema.
La coordenada θ es cíclica, pues ∂L = 0. Entonces, la ecuación de Lagrange para θ
∂θ
da
d
dt
( ∂L
∂ ˙θ
)
− ∂L
∂θ = 0 (3.21)
⇒ ∂L
∂ ˙θ = µr2 ˙θ = cte. (3.22)