Mecánica Clásica

3.7.
DISPERSIÓN EN CAMPO DE FUERZA CENTRAL. 135
Teorema de Bertrand:
Las únicas formas funcionales de potenciales V (r) que producen órbitas cerradas
son V (r) ∝ 1 r (Kepler) y V (r) ∝ r2 (oscilador armónico).
Figura 3.27: Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900).
La mayoría de las órbitas observadas en el Universo (sistemas planetarios, estrellas
binarias, etc) son cerradas. Las pequeñas desviaciones detectadas de órbitas cerradas se
pueden atribuir a la presencia de otros cuerpos.
3.7. Dispersión en campo de fuerza central.
Dispersión (scattering) en un campo de fuerza central consiste en la desviación de la
trayectoria de una partícula con E > 0 debida a la interacción con un potencial V (r),
que puede ser atractivo o repulsivo. La partícula describe una trayectoria abierta desde
r = ∞ hasta r = r min y retorna a r = ∞, cambiando la dirección de su velocidad v.
El ángulo entre la dirección de la velocidad inicial y la dirección de la velocidad final se
denomina ángulo de dispersión χ.
En el problema de Kepler, la trayectoria de una partícula dispersada con E > 0 describe
una órbita hiperbólica. Ésta puede ser de dos tipos:
1) Potencial de Kepler atractivo: V = − k r .
Consideremos la ecuación de la órbita, Ec. (3.86),
donde u = 1/r. Para V = −ku, esta ecuación resulta en
l 2 µ (u′′ + u) = − dV
du , (3.218)
u ′′ + u = µk
l 2 , (3.219)
la cual es una ecuación diferencial inhomogénea ordinaria de segundo orden. Su solución
tiene la forma
u = u h + u p , (3.220)