Mecánica Clásica

4.1. OSCILACIONES EN UNA DIMENSIÓN. 153
donde
ω 2 ≡ K a = 1 a
∂ 2 V ef
∂q 2 ∣ ∣∣∣q0
(4.13)
es la frecuencia angular de las pequeñas oscilaciones alrededor de q 0 .
La Eq. (4.12) tiene solución
η(t) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt = A cos(ωt + ϕ), (4.14)
donde A es la amplitud de las oscilaciones y ϕ es la fase. En general, se emplea la notación
compleja
e i(ωt+ϕ) = cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ). (4.15)
Luego,
η(t) = Re[Ae i(ωt+ϕ) ] = Re(ce iωt ), (4.16)
donde c = Ae iϕ es la amplitud compleja. Se acostumbra escribir simplemente
η(t) = ce iωt , (4.17)
sobreentendiéndose que se toma la parte real de esta expresión para η. Las soluciones
de ecuaciones de movimiento para sistemas oscilatorios escritas en forma compleja son
convenientes porque la expresión e ix no cambia su forma bajo integración o diferenciación.
Ejemplo.
1. Encontrar la frecuencia de pequeñas oscilaciones alrededor de un radio de equilibrio
r 0 para una partícula de masa m moviéndose sobre un cono vertical con ángulo de
vértice α.
Figura 4.2: Pequeñas oscilaciones alrededor de radio r 0 para una partícula sobre un cono.
El Lagrangiano de este sistema fue calculado en los capítulos anteriores. La energía
cinética es
T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙θ2 ) . (4.18)