Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 2. LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS
2.3. Conservación del momento lineal y homogeneidad
del espacio
Como una aplicación del Teorema de Noether, demostraremos la relación entre la
conservación del momento lineal y la homogeneidad del espacio; es decir, la simetría de
traslación en un sistema.
Consideremos como ejemplo el Lagrangiano de una partícula libre, de masa m, moviéndose
con velocidad v = (ẋ, ẏ, ż),
L = 1 2 mv2 = 1 3∑
2 m ẋ 2 i . (2.31)
Supongamos la transformación infinitesimal r ′ = r + δr, donde δr = (δx 1 , δx 2 , δx 3 ) es
constante. Esto es
x ′ i = x i + δx i ,
ẋ ′ i = ẋ (2.32)
i (δẋ i = 0) .
i=1
Figura 2.2: Translación espacial infinitesimal.
Esta transformación corresponde a una translación espacial infinitesimal en una dirección
arbitraria, i.e., representa la homogeneidad del espacio. La variación del Lagrangiano
de la partícula libre bajo esta transformación resulta
δL =
3∑
i=1 ✓
0
∂L
✓ ✓✼ δx i +
∂x i
3∑
i=1
∂L
∂ẋ i
✚ ✚❃0 δẋ i = 0. (2.33)
Esta variación puede ponerse en la forma δL = df(qj,t)
dt
si escogemos f igual a una
constante c. La cantidad conservada J es
J =
3∑
j=1
∂L
∂ẋ j
δx j − f =
3∑
mẋ j δx j − c = cte (2.34)
j=1