Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
donde hemos omitido términos constantes (a 2 ω 2 ) y la derivada total df = mga sin ωt,
dt
con f = − mga cos ωt.
ω
La ecuación de Lagrange para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L = 0. (1.280)
∂θ
donde
∂L
∂θ
∂L
(
∂
) ˙θ
d ∂L
dt ∂ ˙θ
= maωl ˙θ cos(θ − ωt) − mgl sin θ,
= ml 2 ˙θ + maωl sin(θ − ωt),
= ml 2 ¨θ + maωl( ˙θ − ω) cos(θ − ωt).
Sustituyendo en la ecuación de Lagrange para θ, obtenemos
l 2 ¨θ + aωl ˙θ cos(θ − ωt) − aω 2 l cos(θ − ωt) − aωl ˙θ cos(θ − ωt) + gl sin θ = 0, (1.281)
lo cual queda como
¨θ − aω2
l
cos(θ − ωt) + g sin θ = 0. (1.282)
l
Note que si ω = 0, la Ec. (1.282) corresponde a la ecuación de movimiento de un
péndulo simple.
En este sistema, ∂V ≠ 0, por lo que la energía total E = T + V no se conserva;
∂t
se requiere un suministro continuo de energía para mantener girando el soporte del
péndulo con velocidad angular ω constante.
10. Péndulo de resorte.
Figura 1.43: Péndulo de resorte.