Mecánica Clásica

6.8.
ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI. 261
las cuales se pueden expresar mediante la ecuación
( )
∂S
∂S
∂t (q i, t) + H , q i , t
∂q i
= 0 . (6.225)
La Ec. (6.225) es la ecuación de Hamilton-Jacobi.
Comparando la Ec. (6.219) con la ecuación de Hamilton-Jacobi Ec. (6.225), vemos
que la acción S puede interpretarse como una función generadora capaz de producir la
transformación canónica buscada. Más aún, la acción S puede interpretarse como una
función generadora de tipo F 2 (q i , P i , t), Ec. (6.121), que satisface la Ec. (6.219) y tal que
P i = α i = cte, Q i = β i = cte.
Calculamos la derivada total de F 2 (q i , P i , t),
dF 2
dt
= ∂F2
∂q i
= ∑ i
( ∂F2
˙q i + ∂F )
2
P˙
i
∂q i ∂P i
+ ∂F 2
∂t . (6.226)
Usando la relación p i satisfecha por las funciones generadoras de tipo F 2 , la
condición Ec. (6.219) que debe cumplir F = F 2 , y el hecho que P ˙ i = 0, tenemos
dF 2
dt
= ∑ i
p i ˙q i − H, (6.227)
que es análoga a la Ec. (6.222) satisfecha por S. Luego, la acción debe poseer la forma
S(q i , P i , t), donde P i = α i = cte. Si comparamos las relaciones satisfechas por una función
F 2 (q i , P i , t) y por S(q i , P i , t), tenemos
p i = ∂F 2
∂q i
(q i , P i , t)
Q i = ∂F 2
∂P i
(q i , P i , t)
H ′ = H + ∂F 2
∂t
∣
p i = ∂S
∂q i
(q i , P i , t) = p i (q i , P i , t)
Q i = ∂S
∂P i
(q i , P i , t) = Q i (q i , P i , t)
0 = H + ∂S
∂t
(6.228)
donde P i = cte = α i y Q i = cte = β i . Entonces H ′ (P i , Q i ) = cte. Luego, para que
exista una transformación canónica (p i , q i ) → (P i , Q i ) = (α i , β i ), Ec. (6.228), generada
por F 2 = S, tal que H ′ (P i , Q i ) = 0, debe cumplirse la ecuación de Hamilton-Jacobi,
H + ∂S
∂t
= 0. (6.229)
Note que la solución S(q i , P i , t) de la ecuación de Hamilton-Jacobi, o más bien, las
derivadas parciales de S, proporcionan la transformación (p i , q i , t) → (P i , Q i , t). Por
otro lado, las constantes P i y Q i se pueden expresar, en principio, en términos de las
2s condiciones iniciales (q i (0), p i (0)). Luego, el proceso de solución de la ecuación de