Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
La energía total Ec. (3.25) puede entonces expresarse como
E = 1 2 µṙ2 +
l2
2µr 2 + V (r)
= 1 2 µṙ2 + V ef (r) = cte , (3.56)
lo que resulta equivalente a la energía total de una partícula de masa µ, moviéndose en
la dimensión r con energía potencial V ef (r).
El movimiento radial puede analizarse a partir de la Ec. (3.56). La condición ṙ 2 ≥ 0
implica que este movimento ocurre para valores de r tales que E ≥ V ef (r). Los puntos
de retorno del movimiento radial están dados por la condición ṙ = 0 en la Ec. (3.56), es
decir,
E = V ef (r) =
l2
+ V (r) (3.57)
2µr2 ⇒ Er 2 − V (r)r 2 − l2
2µ = 0 , (3.58)
la cual constituye una ecuación algebraica de grado al menos cuadrático en r; luego
pueden existir al menos dos raíces reales, r = r min , r = r max . Si existe un rango de
valores r ∈ [r min , r max ] para el cual E ≥ V ef (r), entonces el movimiento está confinado a
una región anular en el plano (r, θ).
Figura 3.7: Movimiento radial y angular.
Si
r max < ∞ ⇒ movimiento es finito, oscilatorio en r, (3.59)
r max → ∞ ⇒ movimiento sin retorno, (3.60)
r min = r max ⇒ movimiento circular. (3.61)
Por otro lado, notamos que
˙θ =
l
µr 2 ≥ 0 , (3.62)