Mecánica Clásica

3.1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS. 101
El Lagrangiano del sistema se puede expresar como
L(r, R, ṙ, Ṙ) = T − V (r 2 − r 1 ) = 1 2 (m 1 + m 2 )Ṙ 2 + 1 2 µṙ2 − V (r) . (3.11)
Los 6 grados de libertad del sistema se describen mediante las componentes de los vectores
r y R. Las componentes cartesianas de R son coordenadas cíclicas, lo que implica que
M T Ṙ = cte, (3.12)
donde M T = m 1 + m 2 ; es decir, el momento lineal total del sistema se conserva (debido
a que no hay fuerzas externas). El centro de masa se mantiene en reposo o se mueve con
velocidad constante, v cm = Ṙ = cte. Recordemos que
F externa total = 0 ⇒ P T = M T Ṙ = cte ⇒ Ṙ = cte. (3.13)
La conservación del momento lineal total está asociada a la simetría traslacional del
problema de dos cuerpos. Luego, existen 3 cantidades conservadas correspondientes a las
componentes del momento lineal total o, equivalentemente, a las tres componentes de la
velocidad del centro de masa.
El término T cm correspondiente a la energía cinética del centro de masa es, por lo
tanto, constante y se puede omitir en el Lagrangiano, Ec. (3.11), quedando
L = 1 2 µṙ2 − V (r) , (3.14)
lo cual es equivalente al Lagrangiano de una partícula de masa µ moviéndose con velocidad
ṙ en el potencial V (r). El problema de dos cuerpos se reduce a encontrar las
ecuaciones de movimiento de una partícula de masa µ en la posición relativa r(t) con
respecto a un origen O ′ ubicado en una de las dos partículas (Fig. 3.3). Note que este
sistema de referencia centrado en una de las partículas es un sistema no inercial, pues su
origen O ′ está acelerado.
Figura 3.3: Equivalencia del problema de dos cuerpos.
El problema puede simplificarse aún más si se consideran potenciales centrales; es
decir, si V (r) es función de la magnitud |r| = r solamente. En ese caso, el potencial es
V (r) y la fuerza sobre cualquiera de las partículas, en coordenadas esféricas, es
F = −∇V (r) = − ∂V ˆr = f(r)ˆr. (3.15)
∂r