MecÃ¡nica ClÃ¡sica

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278 CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA Luego, p = ∂W ∂q = √ 2mE . (6.333) La variable de acción da J = 1 ∮ p dq 2π C = 1 √ ∮ 2mE dq 2π C = 1 √ ∫ L 2mE 2 dq = L √ 2mE . (6.334) 2π π Luego, p = πJ/L. El Hamiltoniano como función de J es H ′ (J) = y la frecuencia del movimiento está dada por En términos de los datos L y v, 0 π2 2mL 2 J 2 , (6.335) ˙ϕ = ω = ∂H′ ∂J = π2 J. (6.336) mL2 ω = π2 L √ π 2mE = mL 2 π L v (6.337) Luego, el período resulta en T = 2π ω = 2L v . (6.338) 3. Una partícula se mueve sin fricción sobre un cilindro vertical de radio R en el campo gravitacional terrestre, conservando su energía E y alcanzando una altura máxima h despues de cada choque contra el suelo. Encontrar las frecuencias del movimiento usando variables de acción-ángulo. Figura 6.22: Partícula moviéndose sobre un cilindro vertical.
6.9. VARIABLES DE ACCIÓN-ÁNGULO. 279 Hay dos grados de libertad, θ y z. El Lagrangiano del sistema es El Hamiltoniano es H = L = 1 2 m(R2 ˙θ2 + ż 2 ) − mgz. (6.339) p2 θ 2mR 2 + p2 z + mgzE = cte. (6.340) 2m La ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo tiene la forma ( ) ∂W H , q i , α i = E. (6.341) ∂q i Buscamos solución por separación de variables. Asumimos la función característica de Hamilton en la forma W = W θ (θ, α 1 , α 2 ) + W z (z, α 1 , α 2 ), con α 1 = E. Los momentos correspondientes son Sustituyendo en la Ec. (6.340), tenemos ( ) 2 1 ∂Wθ 2mR 2 + 1 ∂θ 2m lo cual se puede expresar como 1 2m p θ = ∂W θ ∂θ , (6.342) p z = ∂W z ∂z . (6.343) ( ) 2 ∂Wz + mgz = E, (6.344) ∂z ( ) 2 ∂Wz + mgz = E − 1 ( ) 2 ∂Wθ ∂z 2mR 2 (6.345) ∂θ El lado izquierdo en la Ec. (6.345) es función de z solamente y el lado derecho es una función de θ. Ambos lados deben ser iguales a la misma constante, α 2 = cte. Entonces, podemos escribir 1 2m ( ) 2 ∂Wz + mgz ∂z ) 2 = α 2 (6.346) = α 2 (6.347) E − 1 ( ∂Wθ 2mR 2 ∂θ Luego, ∂W θ ∂θ = R √ 2m √ E − α 2 = cte , (6.348)
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Mario Cosenza Mecánica Clásica Ve
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Page 310 and 311: 310 APÉNDICE C. TEOREMA DEL VIRIAL
Page 312: 312 APÉNDICE D. BIBLIOGRAFÍA
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