Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 4. OSCILACIONES PEQUEÑAS
La energía potencial es
El Lagrangiano es
V = mgz = mgr cot α . (4.19)
L = T − V = 1 2 m(ṙ2 csc 2 α + r 2 ˙θ2 ) − mgr cot α . (4.20)
La ecuación de movimiento para θ es
( )
d ∂L
dt ∂ ˙θ
− ∂L
∂θ = 0 . (4.21)
El ángulo θ es una coordenada cíclica,
La ecuación para r es
la cual resulta en
Sustituyendo ˙θ =
∂L
∂θ = 0 ⇒ ∂L
∂ ˙θ = mr2 ˙θ = lz = cte. (4.22)
d
dt
( ) ∂L
− ∂L
∂ṙ ∂r = 0 , (4.23)
m¨r csc 2 α − mr ˙θ 2 + mg cot α = 0 . (4.24)
l z
, podemos expresar la Ec. (4.24) como
mr2 m¨r =
l2 z
mr 3 sin2 α − mg sin α cos α , (4.25)
la cual tiene la forma de un problema unidimensional Ec. (4.3), con m = a, y donde
podemos identificar la fuerza efectiva
f ef (r) = − ∂V ef
∂r = l2 z
mr 3 sin2 α − mg sin α cos α . (4.26)
La posición de equilibrio r o está dada por
El potencial efectivo es
f ef (r 0 ) = − ∂V ef
∂r
l2 z
⇒
m 2 r0
3
∣ = 0 (4.27)
r0
= g cos α
sin α
⇒ r 3 0 = l2 z tan α
m 2 g
(4.28)
. (4.29)
V ef (r) = l2 z sin 2 α
2mr 2 + mgr sin α cos α , (4.30)