Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
Las Ecs. (6.273) y (6.276) implican que p φ = P φ = cte. La cantidad constante p φ
es el valor de la componente l z del momento angular.
Sustituyendo S en la Ec. (6.275), obtenemos
( ) [ 2
1 ∂Wr
+ a(r) + 1 (∂Wθ ) 2
2m ∂r
2mr 2 + 2m b(θ)]
∂θ
+
p 2 φ
2mr 2 sin 2 = E, (6.277)
θ
lo cual se puede expresar como
( ) [ 2 (∂Wθ ) 2
r 2 ∂Wr
+ 2mr 2 a(r) − 2mr 2 E = −
+ 2m b(θ)]
−
p2 φ
∂r
∂θ
sin 2 θ . (6.278)
En términos de las coordenadas, el lado izquierdo del la Ec. (6.278) corresponde a
una función que depende solamente de r, mientras que el lado derecho representa
a una función dependiente solamente de θ. Entonces, para que ambos lados sean
iguales en la Ec. (6.278), ambas funciones deben ser iguales a una misma constante,
( ) 2 ∂Wθ
+ 2m b(θ) + p2 φ
∂θ
sin 2 θ = P 3, (6.279)
r 2 ( ∂Wr
∂r
) 2
+ 2mr 2 a(r) − 2mr 2 E = −P 3 , (6.280)
donde hemos fijado la constante como −P 3 , puesto que las funciones W r y W θ
deben depender de las tres constantes E, p φ , P 3 . Despejando, tenemos
[
] 1/2
∂W θ
∂θ = P 3 − 2m b(θ) −
p2 φ
sin 2 , (6.281)
θ
∂W r
∂r = [
2m
Mediante integración obtenemos
∫ [
W θ (θ, p φ , P 3 ) = P 3 − 2m b(θ) −
W r (r, E, P 3 ) =
(
E − P 3
2mr 2 − a(r) )] 1/2
. (6.282)
p2 φ
sin 2 θ
] 1/2
dθ, (6.283)
∫ [
2m (E − a(r)) − P 3
r 2 ] 1/2
dr, (6.284)
y ya teniamos W φ = p φ φ. Luego, el sistema es completamente separable.
La acción correspondiente es
S =
∫ [
2m (E − a(r)) − P ] 1/2
3
r 2 dr
+
∫ [ ] 1/2
P 3 − 2m b(θ) −
p2 φ
sin 2 dθ
θ
+ p φ φ − E t. (6.285)