Mecánica Clásica

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APÉNDICE C. TEOREMA DEL VIRIAL.
Si g(t) es una función que toma valores continuos en el tiempo, su promedio temporal
se define como
∫
1 τ
〈g〉 ≡ lím g(t)dt.
(C.5)
τ→∞ τ
Si g(t) = df , para una función f acotada, |f(t)| < ∞, entonces
dt
∫
1 τ
df f(τ) − f(0)
〈g〉 = lím dt = lím
= 0. (C.6)
τ→∞ τ 0 dt τ→∞ τ
Si tomamos el promedio temporal en todos los términos de la Ec. (C.3), y suponiendo
que los movimientos de las partículas son finitos, obtenemos el teorema del virial,
0
2〈T 〉 = −〈 ∑ i
r i · F i 〉.
(C.7)
Si F i = −∇V (r i ) (fuerzas conservativas), el teorema del virial tiene la forma
〈 〉
〈T 〉 = 1 ∑
r i · ∇V (r i ) . (C.8)
2
i
Como una aplicación, consideremos una partícula en campo central V (r) = kr n .
Entonces, el teorema del virial para esta fuerza conservativa establece que
〈T 〉 = 1 〈
r ∂V 〉
= n 〈V 〉. (C.9)
2 ∂r 2
Para el potencial de Kepler, con n = −1, el teorema del virial, Ec. (C.9), da
El promedio de la energía total se puede expresar como
〈T 〉 = − 1 〈V 〉. (C.10)
2
〈E〉 = 〈T 〉 + 〈V 〉 = constante = E
(C.11)
E = −〈T 〉 < 0,
(C.12)
puesto que 〈T 〉 siempre es una cantidad positiva. El hecho de que la energía total sea
negativa es compatible con un movimiento finito de la partícula en el potencial de Kepler
(Capítulo 3).
El potencial de un oscilador armónico corresponde a n = 2. En este caso, la Ec. (C.9)
resulta en
〈T 〉 = 〈V 〉, (C.13)
y la energía total es positiva, como se espera,
E = 〈T 〉 + 〈V 〉 = 2〈T 〉 > 0.
(C.14)