Mecánica Clásica

230
CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
6.2. Sistemas dinámicos, espacio de fase y Teorema
de Liouville.
Un sistema cuyo estado (o conjunto de estados) evoluciona de acuerdo a reglas determinadas
constituye un sistema dinámico. Las reglas especifican cómo cambia el estado del
sistema a partir de un estado dado. Estas reglas pueden consistir en ecuaciones diferenciales,
funciones iterativas, o por un algoritmo (conjunto de instrucciones). El conjunto
de n estados de un sistema dinámico en un instante t se puede representar por un vector
de variables de estado definido en un espacio de fase euclideano n-dimensional,
x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), . . . , x n (t)) . (6.47)
La evolución del estado x(t) en muchos sistemas físicos, químicos, biológicos, sociales,
económicos, etc., se puede describir mediante ecuaciones diferenciales de la forma
donde
dx(t)
dt
= f(x(t)), (6.48)
f(x) = (f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)) . (6.49)
Si el tiempo no aparece explícitamente en la Ec. (6.48), se dice que el sistema dinámico
es autónomo.
Los puntos fijos o estacionarios x ∗ del sistema Ec. (6.48) están dados por
dx(t)
dt
∣ = f(x ∗ ) = 0. (6.50)
x ∗
La Ec. (6.48) equivale al sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden
ẋ 1 = f 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n )
.
.
.
. (6.51)
ẋ n = f n (x 1 , x 2 , . . . , x n ).
En general, una ecuación diferencial ordinaria de orden n para una variable se puede
expresar como un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
para n variables. La solución del sistema de n ecuaciones diferenciales de primer
orden Ec. (6.48) para x(t) ∈ R n requiere el conocimiento de n condiciones iniciales
x(0) = (x 1 (0), x 2 (0), . . . , x n (0)).
Ejemplos.
1. Las ecuaciones de Hamilton de un sistema mecánico con s grados de libertad constituyen
un sistema dinámico 2s-dimensional, i = 1, . . . , s,
˙q i = ∂H
∂p i
= f i (q j , p j ), i = 1, . . . , s (6.52)
ṗ i = − ∂H
∂q i
= f i (q j , p j ), i = s + 1, . . . , 2s (6.53)