Mecánica Clásica

6.2. SISTEMAS DINÁMICOS, ESPACIO DE FASE Y TEOREMA DE LIOUVILLE.235
Teorema de Liouville.
El volumen representado por un ensemble de un sistema mecánico (que obedece
las ecuaciones de Hamilton) en su espacio de fase es constante, Γ = cte,
i.e.,
dΓ
dt = 0.
Demostración:
La dinámica del sistema está descrita por las ecuaciones de Hamilton,
˙q i = ∂H
∂p i
,
ṗ i = − ∂H
∂q i
,
donde
Luego,
f =
( ∂H
, − ∂H ) ( ∂H
= , . . . , ∂H , − ∂H , . . . , − ∂H )
. (6.62)
∂p i ∂q i ∂p 1 ∂p s ∂q 1 ∂q s
∇ · f = ∑ ( ∂ ˙qi
+ ∂ṗ )
i
(6.63)
∂q
i i ∂p i
= ∑ ( ∂ 2 )
H
−
∂2 H
= 0 (6.64)
∂q
i i ∂p i ∂p i ∂q i
⇒
dΓ = 0. (6.65)
dt
Figura 6.10: Joseph Liouville (1809-1882).
Los sistemas dinámicos que satisfacen ∇ · f = 0 ( dΓ
dt
= 0) se llaman conservativos,
mientras que los sistemas tales que ∇ · f < 0 ( dΓ
dt
< 0) se denominan disipativos.