Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Principio de mínima acción:
La evolución del sistema entre el estado en t 1 y el estado en t 2 es tal que S
sea mínima, es decir, δS = 0 (S es un extremo).
El Principio de mínima acción es un principio variacional; establece que las ecuaciones
de movimiento de un sistema, en términos de sus coordenadas generalizadas, pueden
formularse a partir del requerimiento de que una cierta condición sobre S sea satisfecha.
El Principio de mínima acción fue formulado en distintas formas por Maupertuis y
por Hamilton; también se llama Principio de Hamilton.
Sean q j = q j (t) las trayectorias para las cuales S adquiere un valor extremo. Consideremos
la variación de q j como q j (t) + δq j (t), y la variación de ˙q j como ˙q j (t) + δ ˙q j (t).
Supongamos extremos fijos t 1 y t 2 . Luego δq j (t 1 ) = δq j (t 2 ) = 0.
La variación de q j produce un incremento en el valor de S. La variación en S cuando
q j (t) es reemplazado por q j (t) + δq j (t), y ˙q j por ˙q j (t) + δ ˙q j (t), es
δS =
=
∫ t2
t 1
∫ t2
t 1
δL(q j , ˙q j , t)dt
∫ t2
L(q j + δq j , ˙q j + δq j , t)dt − L(q j , ˙q j , t)dt. (1.173)
t 1
El principio de mínima acción requiere que
∫ t2 s∑
[ ∂L
δS =
δq j + ∂L ]
δ ˙q j dt = 0. (1.174)
∂q j ∂ ˙q j
t 1
Similar a la integral I, podemos expresar el segundo término como
donde
∫ t2
t 1
j=1
δL d
δ ˙q j dt (δq j)dt = ∂L ∣ ∣∣∣
t 2
∫ t2
δq j −
∂ ˙q j t 1 t 1
∂L
∂ ˙q j
δq j
∣ ∣∣∣
t 2
Luego, la condición δS = 0 implica s ecuaciones:
d
dt
d
dt
( δL
δ ˙q j
)
δq j , (1.175)
t 1
= 0. (1.176)
( ∂L
∂ ˙q j
)
− ∂L
∂q j
= 0, i = 1, . . . , s. (1.177)
Las Ecs. (1.177) se denominan ecuaciones de Lagrange. Constituyen s ecuaciones diferenciales
acopladas de segundo orden para las s coordenadas q j (t) que describen la evolución
del sistema en el tiempo.
Se pueden establecer las siguientes analogías entre el Principio de mínima acción y
un principio variacional:
S =
∫ t2
t 1
L(q j , ˙q j , t)dt ↔ I =
∫ x2
x 1
f(y i , y ′ i, x)dx (1.178)