Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 3. FUERZAS CENTRALES
la integral en la Ec. (3.36) resulta en
∫
dx
√
2µE
2
l 2 x − 2µk
, (3.41)
l 2 − x 2
la cual tiene un integrando de la forma Ec. (3.37) y, por tanto, es integrable en términos
de funciones circulares.
3.2. Potencial efectivo.
Hemos encontrado que el Lagrangiano del problema de dos cuerpos que interactuan
mediante el potencial central V (r) se reduce a
Vimos que la ecuación de Lagrange para θ da
L = 1 2 µ (ṙ 2 + r 2 ˙ θ 2 )
− V (r) (3.42)
l = µr 2 ˙θ = cte. (3.43)
Por otro lado, la ecuación de Lagrange para r es
( )
d ∂L
− ∂L
dt ∂ṙ ∂r = 0 , (3.44)
donde calculamos,
∂L
∂ṙ = µṙ
∂L
∂r = µr θ ˙2
− ∂V
∂r
Sustitución en la ecuación de Lagrange para r resulta en
(3.45)
Sustituyendo ˙θ =
µ¨r = − ∂V
∂r + µr ˙θ 2 . (3.46)
l , la ecuación Ec. (3.46) para r queda
µr2 La fuerza radial f(r) debida al potencial central V (r) es
µ¨r = − ∂V
∂r + l2
µr 3 (3.47)
f(r) = − ∂V
∂r . (3.48)