Mecánica Clásica

4.4. OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS. 173
Para tiempos suficientamente grandes, t ≫ 1/λ, el primer término en la Ec. (4.165) decae,
y el movimiento está determinado por el segundo término, el cual representa el estado
asintótico y estacionario del sistema. Esto es, el movimiento estacionario corresponde a
la solución
x e (t) = b cos(νt + δ). (4.166)
La respuesta del sistema en el estado estacionario esta desfasada en un factor δ con
respecto a la fuerza externa. En el movimiento estacionario, existe un flujo de energía
que entra y sale del sistema. La energía es continuamente absorbida por el sistema desde
la fuerza externa, y disipada en el medio por la fricción.
La frecuencia de resonancia de la fuerza externa ν R es aquella para la cual la respuesta
del sistema exhibe su máxima amplitud. El valor de ν R se puede determinar a partir de
la condición
db
dν ∣ = 0, (4.167)
νR
donde b es la amplitud dada por la Ec. (4.157). Calculamos la derivada como
db
dν = f m
2ν[(ω 2 − ν 2 ) − 2λ 2 ]
. (4.168)
[(ω 2 − ν 2 ) 2 + 4ν 2 λ 2 ]
3/2
La condición Ec. (4.167) conduce al valor de la frecuencia de resonancia,
ν R = ω 2 − 2λ 2 . (4.169)
El valor de la amplitud de respuesta del sistema en resonancia es
b max = f m
1
. (4.170)
2λ(ω 2 − λ 2 )
1/2
En ausencia de fricción, λ = 0; entonces ν R = ω y b → ∞. Luego, el amortiguamiento
reduce el valor de la frecuencia de resonancia y limita el crecimiento de la amplitud en
resonancia. Note que si ω 2 < 2λ 2 , la frecuencia ν R tiene un valor imaginario y no hay
resonancia; la amplitud b simplemente decrece con el incremento de ν.