Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 6. DINÁMICA HAMILTONIANA
H ′ (Q i , P i ) = 0, entonces debe existir una función generadora F tal que
H + ∂F
∂t
= 0. (6.219)
La condición que debe cumplirse para que tal transformación canónica exista, es la ecuación
de Hamilton-Jacobi, y corresponde a la Ec. (6.219) para una F apropiada.
Figura 6.16: Carl Gustav Jacobi (1804-1851).
Para derivar la ecuación de Hamilton-Jacobi y la función generadora apropiada, consideremos
la acción de un sistema,
S =
∫ t2
t 1
L(q i , ˙q i , t) dt . (6.220)
El valor de la acción S, como integral definida, depende del conjunto de trayectorias
{q i (t)} que satisfacen la ecuaciones de Lagrange correspondientes. Para esas trayectorias,
el valor de S es mímino (extremo).
Supongamos que el tiempo t 2 es variable, i.e, t 2 = t. Entonces, la acción dependerá de
las trayectorias y del tiempo, S = S(q i , t). Luego, como función de sus argumentos q i y
t, la derivada temporal de la acción es
dS
dt = ∑ i
∂S
˙q i + ∂S
∂q i ∂t . (6.221)
Por otro lado, si t 2 = t en la definición de la acción Ec. (6.220), tenemos
dS
dt = L = ∑ i
p i ˙q i − H(ṗ i , q i , t). (6.222)
Comparando Ec. (6.221) con Ec. (6.222), obtenemos las relaciones
p i = ∂S (q i , t) ,
∂q i
(6.223)
∂S
∂t (q i, t) + H(p i , q i , t) = 0 , (6.224)