Mecánica Clásica

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CAPÍTULO 5. MOVIMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS
Figura 5.30: Movimiento de l en (x 1, x 2, x 3) para un cuerpo rígido asimétrico libre.
Las intersecciones de la esfera con el elipsoide corresponden a curvas cerradas alrededor
de los ejes x 1 y x 3 . Luego, el movimiento del vector l relativo al sistema
(x 1 , x 2 , x 3 ) fijo en el cuerpo debe ser periódico; durante un período de oscilación el
vector l describe una especie de superficie cónica alrededor de x 1 o de x 3 , y regresa
a su posición original.
Las ecuaciones de Euler (5.172) para un cuerpo asimétrico libre, con τ 1 = τ 2 =
τ 3 = 0, son
I 11 ˙Ω1 + Ω 2 Ω 3 (I 33 − I 22 ) = 0
I 22 ˙Ω2 + Ω 1 Ω 3 (I 11 − I 33 ) = 0
(5.178)
I 33 ˙Ω3 + Ω 1 Ω 2 (I 22 − I 11 ) = 0.
Estas tres ecuaciones, junto con las dos cantidades conservadas l (Ec. (5.173)) y
E (Ec. (5.174)), constituyen un sistema integrable. En efecto, multiplicando la
Ec. (5.174) por 2I 33 y restando la Ec. (5.173), obtenemos
2EI 33 − l 2 = I 11 (I 33 − I 11 )Ω 2 1 + I 22 (I 33 − I 22 )Ω 2 2. (5.179)
Despejamos Ω 1 en función de Ω 2 ,
Ω 2 1 = (2EI 33 − l 2 ) − I 22 (I 33 − I 22 )Ω 2 2
I 11 (I 33 − I 11 )
. (5.180)
Por otro lado, multiplicando la Ec. (5.174) por 2I 11 y restando ésta de la Ec. (5.173),
tenemos
l 2 − 2EI 11 = I 22 (I 22 − I 11 )Ω 2 2 + I 33 (I 33 − I 11 )Ω 2 3. (5.181)
Despejando Ω 3 en función de Ω 2 ,
Ω 2 3 = (l2 − 2EI 11 ) − I 22 (I 22 − I 11 )Ω 2 2
. (5.182)
I 33 (I 33 − I 11 )
Sustituyendo las expresiones de Ω 1 y de Ω 2 en la segunda de las ecuaciones Ec. (5.178),
˙Ω 2 = Ω 1 Ω 2
(I 33 − I 11 )
I 22
, (5.183)